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Intro Stat Model of Extreme Values (Coles) - 8章 -- このエントリーを含むはてなブックマーク

8章は、Multivariate extremes に関するレビュー。

8,1 Introduction

この章は簡単のため、2変数に限った理論に限定するとのこと。

8.2 Componentwise Maxima

変数ごとにUnit Frechet に変換した確率変数の場合、
Extreme でのjoint distribution function は、
ある条件を満たす[0,1]上の確率測度 H(w) を用いて
一般的に表せる(Thm8,1)。(さらに、Hとjoint dist'n は一対一対応。)
証明は省略(max-stable な性質を使うらしい)。

逆に言うと、H(w)はかなりの数(C[0,1]に近い数)あるので、一般には
(有限な)parametric formは持たない。
そこで、実際の推定は、bivariate logistic, bilogistic, Dirichletなどの
有限パラメータのモデルを用いて最尤法を用いる。
Unit Frechet のパラメータとの同時推定も可能だが、計算量は困難になる。

Componentwise Maxima の関数 Z=φ(M_x, M_y) についての分布を調べたい
場合は、Zを直接univariate modelに当てはめることも可能だが、
componentwise な処理によって(X,Y)のペアが入り組んでいるので
何をやっているのかは曖昧な面もある。

8.3 Alternative Representations

Threshold model は、最尤法で扱える(実際問題として、joint dist'n の定
式化はやはりbivariate logistic 等のパラメトリックにする必要がある)。

Point process model に関しては、Thm8,1 を一般化した式が成り立つ。
すなわち、極限として現れるPoisson process は、偏角(r)とサイズ(w)の成分に
分解することができ、rに関する成分は(Unit Frechetなmarginal dist'nの
下で一意に決まる)。wに関する成分はThm8.1に対応して決まる。

8.4 Asymptotic Independence
未読。

8.5 Further reading
未読。
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テーマ : 数学
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Willy

Author:Willy
日本の某大数学科で修士課程修了。金融機関勤務を経て、米国の統計学科博士課程にてPhD取得。現在、米国の某州立大准教授。

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